.png)
Бином Ньютона
Работа выполнена командой «Пятый элемент» в рамках сетевого проекта «Тайны натурального ряда чисел».
Слово «бином» означает двучлен, т.е. сумму двух слагаемых. Из школьного курса нам известны так называемые формулы сокращенного умножения:
(а + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3.Обобщением этих формул является формула, называемая формулой бинома Ньютона. Используются в школе и формулы разложения на множители разности квадратов, суммы и разности кубов.
Имеют ли они обобщение для других степеней? Да, есть такие формулы, они часто используются в решении различных задач: на доказательство делимости, сокращение дробей, приближенные вычисления.
Обобщением этих формул является формула, называемая формулой бинома Ньютона.
Оскар Хуторянский
"Подумаешь, Бином Ньютона"
Кот промяукал Бегемот
(Он Воланда слуга покорный),
Предсказывая жизни ход.
Все это только подтверждает
Ньютона гений, но давно
Бином известен был в Китае,
Арабы знали про него.
Но обобщил Ньютон решение,
Возвёл он в степень многочлен...
Избавил нас от всех сомнений
Других же нет у нас проблем.
Скажите нам совсем без прений
Зачем нам нужен тот бином?
Комбинаторику явлений
Мы без бинома не найдём.
Визуальное представление бинома Ньютона. Алексей Савватеев.
История биноминальной теоремы.
Верно ли исторически название "Бином Ньютона"?
Нет, ведь первооткрывателем является далеко не Исаак Ньютон, а, например, китайский математик Ян Хуэй, что жил в XIII веке, или персидский математик ат-Туси, жившим также в XIII веке, или же аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени XVIII. Однако же сам Исаак Ньютон обобщил формулу для произвольного показателя степени (отрицательного, дробного и тд.) примерно в 1665 году и представил ее миру, хотя и без доказательства. На основе биномиального разложения Ньютон, а позже Леонард Эйлер вывели всю теорию бесконечных рядов. Получается, что Ньютон обобщил факты, полученные не менее известными математиками ранее, и в то же время, дал толчок для дальнейшего развития математики: теории рядов, интегральных исчислений, комбинаторики.
Почему в разных странах мира формулу бинома Ньютона называют по-разному?
1. Ньютон называл свою формулу, используя термины, "теорема", "правило".
2. М. Штифель в 1544 г. использовал термин "биномиальный коэффициент". "Полной арифметике" М.Штифеля приведена словесная формулировка формулы бинома для любого натурального показателя и используются термины "квадратный бином", "квадрато-квадратный бином".
3. В Иране треугольник биномиальных коэффициентов называют треугольником Хайяма;
4. В работе Халаюдхи (Индия, X в.) носит название meru-prastaaraв.
5. В Италии - треугольник Тартальи.
Применение формулы бинома Ньютона в математике и других науках.
В математике:
1) В преобразовании двучлена n-ой степени в многочлен
Примеры, использования формулы:
(1 + 3а)4 = 14 + 4·13·3а + 6·12·(3а)2 + 4· 11·(3а)3 + (3а)4 =
1 + 12а + 54а2 + 108а3 + 81а4
(х – у)6 = (х + (-у))6 = х6 + 6х5(-у) + 15х4(-у)2 + 20х3(-у)3 +
15х2(-у)4 + 6х(-у)5 + у6= х6– 6х5у +15х4у2– 20х3у3 + 15х2у4 – 6ху5+ у6.
2) В выполнении приближенных вычислений:
Пусть в формуле бинома Ньютона (a + b)n = ап + Cn1 ап— 1 b + Cn2 ап— 2 b2 + ... + Cnп— 1 аbп— 1 + Cnп bп
а = 1, b = х, получим:(1 + х)n = 1 + Cn1 х + Cn2 х2 + ... + Cnп— 1 х п— 1 + Cnп хп . Назовем ее формулой 1.
Если величина х мала, то величины х2, х3, ..., хп тем более малы. Поэтому если в формуле 1 отбросить члены, содержащие х2, х3, ..., хп, то получится приближенная формула 2 (1 + х)n ≈ 1 + Cn1 х
Ошибка такого приближения должна быть небольшой. В нашем случае Cn1 = п, поэтому формулу2 можно переписать в виде формулы 3:
(1 + х)n ≈ 1 + n х
При малых значениях х формула 3 дает вполне удовлетворительный результат. Примеры, использования формулы:
0,99 = (1 — 0,01)5 ≈ 1 — 5 • 0,01 = 0,95;
(0,97)2 = (1 — 0,03)2 ≈ 1 — 2 • 0,03 = 0,94.
3) в геометрии для представления и последовательного получения коэффициентов в задаче деления окружности или угла на m равных частей.
В физике:
Решение технических задач
Тяга воздушного винта и потребляемая им мощность вычисляются по формулам: P=apn2sD4N=bpn3sD5 Где D-диаметр винта; ns-число оборотов винта в секунду, p- плотность воздуха, a и b – коэффициенты зависящие от конструкции винта. При ремонте винта для удаления с его концов царапин и зазубрин пришлось уменьшить его диаметр на величину ∆D, которая значительно меньше диаметраD. Определить, на сколько снизилась тяга этого винта и потребляемая им Мощность при тех же секундных оборотах, если полагать все остальные параметры, входящие в формулы, неизменными.
Решение:
Пусть Q2=Q1+ ∆Q, T2=T1-∆T, где ∆T-искомое уменьшение долговечности.
Тогда T1/T1-∆T =(Q1+∆Q/Q1)9= (1+∆Q/Q1)9
откуда ∆T= T1[1- 1/(1+∆Q/Q1)9]=T1[1-1/1+9∆Q/Q1+36(∆Q/Q1)2+82(∆Q/Q1)3+126(∆Q/Q1)4+126(∆Q/Q1)5+82(∆Q/Q1)6+36(∆Q/Q1)7+9(∆Q/Q1)8+(∆Q/Q1)9]
Если ∆Q/Q1<<1 формула может быть упрощена, так как степени ∆Q/Q1 выше первой очень малы. В Этом случае ∆T≈T1(1-1/1+9∆Q/Q1)= 9T1 *∆Q/Q1 /1+9∆Q/Q1
В литературе:
1. художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически)[1]. Например, в романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова: «подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».
2. В повести «Последнее дело Холмса» Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: «…когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность…»
Верно ли исторически название "Бином Ньютона"?
Шутливая фраза, применяется по отношению к плевому делу, простой задаче, которую некоторые ошибочно считают непосильной для выполнения или архисложной.
Возникновение фразы : из романа (1891 - 1940 гг.) «Мастер и Маргарита» (1940 г.).
Слова Коровьева, которые решил прокомментировать разговор Воланда с буфетчиком Соковым. Буфетчик жалуется на зрителей, которые расплатились с ним фальшивыми деньгами, чем «на сто девять рублей наказали буфет».
« - Ну, конечно, это не сумма, - снисходительно сказал Воланд своему гостю, - хотя, впрочем, и она, собственно, вам не нужна. Вы когда умрете?
Тут уж буфетчик возмутился.
- Это никому не известно и никого не касается, - ответил он.
- Ну да, неизвестно, - послышался все тот же голос (Коровьева) из кабинета, - подумаешь, бином Ньютона ! Умрет он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвертой палате».
Список использованных источников:
https://cyberleninka.ru/article/n/iz-istorii-binomialnoy-teoremy/viewer